Las series de Fourier son más fáciles de utilizar si trabajamos con números complejos. Por esta razón, vamos a dar un pequeño repaso al enfoque complejo que hicimos del análisis de Fourier, centrándonos especialmente en la representación gráfica.
Comencemos por considerar un número complejo $z\in\mathbb{C}$. Sabemos que este número se puede expresar de la forma $z=a+ib$, siendo $a$ y $b$ las partes real e imaginaria respectivamente.
Esta idea de expresar un número complejo con dos números reales nos sugiere hacer la identificación $z\equiv (a,b)$ y ahora centrarnos en la representación de $(a,b)$ como un punto del plano $\mathbb{R}^2$.
En la figura anterior hemos dibujado un número $z$ cualquiera. Ahora nos vamos a interesar en un tipo particular de números, aquellos que son de la forma $z=e^{it}$ para algún número real $t$. Según lo visto en el artículo, tendremos $e^{it} = \cos t + i\sin t$, lo que nos permite identificar el número complejo con el punto del plano de coordenadas $(\cos t, \sin t)$.
Estos puntos están siempre sobre la circunferencia unidad. Además, como su parte real e imaginaria son cosenos y senos, tenemos ya la relación entre exponenciales complejas y armónicos. Moviendo la barra bajo la gráfica podemos cambiar el valor de $t$, lo que hará que cambien respecitvamente $\cos t$ y $\sin t$.
Vale, las partes real e imaginaria de un número complejo de la forma $e^{it}$ son armónicos. ¿Hay alguna manera visual de ver esto?
En efecto, vamos a dejar que $t$ varíe automáticamente mientras vamos dibujando a la vez la parte imaginaria. Si todo va bien, debería aparecer poco a poco la gráfica de la función.
Para ver esto, sólo tienes que pulsar Animar bajo la gráfica.
Poco a poco estamos ganando complejidad (chistaco de números complejos). Para seguir con la analogía con las series de Fourier complejas vamos a mirar ahora cómo podemos representar sumas de senos. De la figura anterior queda claro que el seno es la parte imaginaria de un punto que se desplaza por un círculo.
Si queremos representar dos senos, vamos a coger dos puntos y dos círculos. De esta manera, bastará con sumar las partes imaginarias.
Para hacer la suma más fácil gráficamente, vamos a montar el segundo círculo sobre el primer punto. De esta manera, la altura del punto final es la suma de senos buscada. Notemos que el tamaño de los radios es importante, pues en realidad la suma que estamos haciendo es \[ r_1 \sin(t_1) + r_2\sin(t_2) \]
Con las dos barras se puede controlar los valores de $t_1$ y $t_2$, y así las posiciones de los puntos.
Juntando todo lo anterior estamos en condiciones de representar una animación de una suma de senos que represente a una función. Por comodidad, vamos a tomar un tren de pulsos rectangulares, ya que se escribe como \[ f(t) \approx \sin(t) + \frac{1}{3}\sin(3t) + \frac{1}{5}\sin(5t) + ... \] La amplitud de cada armónico la controlaremos cambiando el radio del círculo, y luego tendremos que ajustar los ángulos.
En la figura puedes ver la primera aproximación, ya que dibujamos $\sin(t) + \frac{1}{3}\sin(3t)$. En efecto, es importante ver cómo el ángulo del segundo círculo gira tres veces más rápido que el primero.
Por supuesto, nada nos impide añadir términos a nuestra aproximación para acercarnos más al tren de pulsos rectangulares.
Si utilizamos 3 armónicos, tendríamos que dibujar \[ \sin(t) + \frac{1}{3}\sin(3t) + \frac{1}{5}\sin(5t) \] Esto lo vamos a conseguir añadiendo un tercer círculo.
Así, bastará ajustar el tamaño de los radios adecuadamente, y hacer que el ángulo gire 5 veces más rápido. El resultado lo puedes comprobar de nuevo en la gráfica de la figura pulsando Animar.
Ya sólo por diversión, vamos a dibujar una aproximación más: \[ \sin(t) + \frac{1}{3}\sin(3t) + \frac{1}{5}\sin(5t) + \frac{1}{7}\sin(7t) \] De nuevo, esto vuelve a pasar por añadir otro círculo que sume otro seno.
Como siempre, puedes verlo pulsando Animar bajo la figura.